Autour d’abc et de Szpiro
Dans une égalité a + b = c, les facteurs premiers des trois entiers imposent-ils une limite à leur taille ? La conjecture abc formalise cette question. Les courbes de Frey établissent un pont vers des conjectures sur les courbes elliptiques. Les différentes formulations ont leurs propres hypothèses et ne doivent pas être confondues.
Comment comparer la taille d’un objet avec la diversité de ses facteurs premiers ?
L’histoire du problème
Ce que l’on cherche à comprendre
Contrôler la complexité arithmétique d’une courbe à partir de ses mauvais nombres premiers.
2013
Une borne générale
Murty et Pasten obtiennent une majoration de la hauteur de l’ordre de N log N.
Pasten, introduction et référence [4] ↗2024
Les courbes de Shimura comme outil
Pasten développe une approche d’abc par les courbes de Shimura ; la borne en N log log N dépend encore de GRH.
Pasten, introduction et référence [6] ↗15 septembre 2026
Le gain devient inconditionnel
La nouvelle prépublication retire GRH de cette estimation. Le cas semi-stable bénéficie d’une borne en N.
Hector Pasten, prépublication ↗
Le parcours de lecture
- 01
Lire le progrès actuel
Szpiro : une borne plus fine pour les courbes elliptiques
Une amélioration inconditionnelle de la borne générale, dont l’échelle reste distincte de celle attendue par les conjectures.