Le discriminant minimal

Pour une équation courte $y^2=x^3+Ax+B$ en caractéristique différente de $2$ et $3$, le discriminant de ce modèle vaut

$\Delta=-16(4A^3+27B^2).$

La condition $\Delta\ne0$ exprime que la cubique est non singulière. Par exemple, $y^2=x^3-x$ donne $\Delta=64$ pour ce modèle.

Changer de coordonnées peut changer le discriminant de l’équation. Sur $\mathbb Q$, un modèle entier minimal permet de définir le discriminant minimal. Il faut donc distinguer le calcul sur une équation arbitraire et l’invariant minimal de la courbe.

Dans la note sur Szpiro, $\Delta$ désigne la valeur absolue de cet invariant. On compare $\log\Delta$ au conducteur. Une borne sur $\log\Delta$ est beaucoup plus faible que la même borne placée directement sur $\Delta$.

Les notations de l’article suivent l’introduction de Pasten.