Une clé de lecture
Le conducteur
Pour une courbe elliptique sur les rationnels, le conducteur est un entier dont les facteurs premiers sont exactement les premiers de mauvaise réduction. Leurs exposants mesurent une information locale de ramification ; ils ne sont pas les exposants du discriminant.
Une équation entière d’une courbe elliptique peut être réduite modulo un nombre premier. Lorsque la courbe ainsi obtenue est lisse, on parle de bonne réduction. Le conducteur rassemble les contributions des premiers où cette propriété échoue :
Pour une courbe elliptique sur , en bonne réduction et en réduction multiplicative. La réduction additive demande une analyse supplémentaire, notamment en petite caractéristique. Les exposants ont une définition précise en termes de représentation galoisienne.
Le discriminant minimal a les mêmes diviseurs premiers, mais peut leur attribuer des exposants très différents. C’est pourquoi connaître les mauvais premiers ne suffit pas à contrôler immédiatement la taille du discriminant.
Cette distinction intervient dans l’article sur Szpiro. Les conventions employées dans ce résultat sont précisées au début du papier de Pasten.