Mordell–Lang : une même borne pour toute une famille

Une courbe, des points rationnels — Exemple : y² = x³ − x, avec les trois points (−1, 0), (0, 0) et (1, 0). Cette courbe illustre l’objet étudié ; elle ne représente pas une famille particulière du papier.

À retenirL’uniformité borne le nombre de morceaux à partir de quelques paramètres, au lieu de traiter chaque variété séparément.

Pourquoi « uniforme » change la question

Dire que chaque boîte contient un nombre fini d’objets ne fournit pas une borne commune à toutes les boîtes. Les tailles $1,2,3,\ldots$ sont chacune finies, mais leur ensemble n’est pas borné. En arithmétique, cette différence devient une question profonde : quels paramètres suffisent pour contrôler toute une famille d’équations ?

Le problème de Mordell–Lang examine une sous-variété $X$ d’un groupe algébrique $G$ et un sous-groupe arithmétique $\Gamma$ . On regarde les points appartenant aux deux.

Le cadre semi-abélien

Une variété semi-abélienne est une extension d’une variété abélienne par un tore. Sa structure s’écrit

$0\longrightarrow\mathbb G_m^t\longrightarrow G\longrightarrow A\longrightarrow0.$

Le tore apporte des coordonnées multiplicatives ; la partie abélienne inclut notamment la géométrie des courbes elliptiques. Une extension n’est pas nécessairement un simple produit : l’interaction entre les deux parties compte.

Le résultat annoncé

Énoncé

Dans le cadre du théorème 1.1, sur un corps algébriquement clos $K$ de caractéristique zéro, l’intersection s’écrit

$X(K)\cap\Gamma=\bigcup_i\bigl(H_i(K)\cap\Gamma\bigr),$

avec au plus $c(g+t,d)^{r+1}$ translatés $H_i$ de sous-groupes algébriques contenus dans $X$ . Ici $r=\operatorname{rang}\Gamma$ et $g=\dim A$ .

Le degré $d$ et la compactification sont ceux du théorème 1.1. Les auteurs ne donnent pas ici de formule explicite pour la constante.

Des morceaux, pas seulement des points

Un exemple élémentaire aide à distinguer les deux. Dans le plan réel, la droite $x=y$ rencontre $\mathbb Z^2$ en tous les points $(n,n)$ . L’intersection est infinie, mais elle possède une description unique : c’est un sous-groupe engendré par $(1,1)$ .

Cet exemple additif illustre seulement le rôle de la structure ; ce n’est pas une application du théorème semi-abélien. Il explique pourquoi compter des morceaux structurés peut être pertinent même lorsque compter les points donne l’infini.

L’idée de la preuve

La stratégie travaille dans des familles, sur des espaces de modules, plutôt que variété par variété. L’introduction articule non-dégénérescence, hauteurs et équidistribution pour atteindre l’uniformité. La présence du tore demande d’adapter la géométrie utilisée dans le cas abélien.

Ce résultat annoncé concerne donc la complexité d’une décomposition arithmétique. Il ne fournit pas un algorithme universel qui énumérerait toutes les solutions de n’importe quelle équation.

Revenir aux sources

Uniform Mordell-Lang conjecture for semiabelian varieties ↗Zhaobo Han, Wenbin Luo, Jiawei Yu · arXiv:2609.17233v1Soumis le 15 septembre 2026 · Théorème 1.1 et section 1.1

Note préparée avec assistance IA à partir des sources citées. Le périmètre de lecture est indiqué ci-dessus ; cette note ne constitue pas une validation indépendante de la démonstration. Notre méthode.