Courbes elliptiques

Une courbe et une loi de groupe

Sur $\mathbb Q$, une courbe elliptique peut être décrite par une équation de Weierstrass courte

$y^2=x^3+ax+b,$

avec $4a^3+27b^2\ne0$, à laquelle on ajoute un point à l’infini, noté $O$. Cette condition exclut les singularités. Le mot « elliptique » ne signifie pas que la courbe est une ellipse.

Les points de la courbe s’additionnent selon une règle géométrique. Une droite passant par deux points rencontre généralement la cubique en un troisième point ; sa symétrie par rapport à l’axe horizontal donne leur somme. La règle se prolonge aux tangentes et au point à l’infini.

Discriminant et conducteur

Pour l’équation courte ci-dessus, le discriminant vaut

$\Delta=-16(4a^3+27b^2).$

Le discriminant minimal provient d’un modèle entier minimal, et ne se confond donc pas avec celui d’une équation choisie arbitrairement. Le conducteur est un autre entier attaché à la courbe ; ses facteurs premiers signalent la mauvaise réduction, avec des exposants qui encodent sa nature.

Exemple

Pour $y^2=x^3-x$, le discriminant de cette équation est $64$, donc la courbe est non singulière sur $\mathbb Q$. La question de sa réduction modulo un premier est une question supplémentaire : il faut examiner l’équation sur le corps fini correspondant.

Pourquoi elles reviennent si souvent

Elles réunissent géométrie, équations diophantiennes et structures de groupe. On peut les étudier par leurs points rationnels, leurs réductions sur les corps finis ou les fonctions $L$ qui leur sont associées. Ce sont plusieurs descriptions d’un même objet, chacune donnant accès à des outils différents.