L’uniformité

Tout se joue dans l’ordre des quantificateurs

Comparer les deux phrases suivantes suffit à voir la difficulté :

$\forall X,\ \exists C_X:\quad n(X)\leq C_X,$

$\exists C,\ \forall X:\quad n(X)\leq C.$

La première autorise une nouvelle constante pour chaque objet. La seconde impose une même constante pour toute la famille. Elle est donc beaucoup plus exigeante.

Une famille très simple

Pour chaque entier $m\geq1$, l’ensemble $\{1,\ldots,m\}$ est fini. Sa taille est $m$. Pourtant, aucune constante ne majore la taille de tous ces ensembles. La finitude individuelle n’implique pas l’uniformité.

À l’inverse, un polynôme non nul de degré au plus $d$ possède au plus $d$ racines distinctes dans un corps. La borne dépend du degré, mais pas des coefficients. Elle est uniforme lorsque le degré est fixé.

Ce qu’il faut demander à un résultat

Une borne n’a pas besoin d’être une constante universelle indépendante de tout. Elle peut dépendre de la dimension, du degré ou du rang d’un groupe. L’information intéressante est la liste précise des paramètres autorisés, et celle des données particulières dont la borne est indépendante.

Une constante uniforme peut aussi être non explicite : prouver qu’elle existe ne donne pas nécessairement une valeur numérique exploitable.