Réseaux et covolume

Une grille, éventuellement déformée

Un réseau de rang plein dans $\mathbb R^n$ est l’ensemble des combinaisons entières d’une base réelle $b_1,\ldots,b_n$ :

$L=\mathbb Zb_1+\cdots+\mathbb Zb_n.$

En plaçant ces vecteurs en colonnes d’une matrice inversible $B$, on écrit $L=B\mathbb Z^n$. Le réseau carré $\mathbb Z^2$ est un exemple ; incliner les vecteurs de base donne une autre grille.

Le covolume

Le parallélépipède fondamental a pour volume $|\det B|$. Ce nombre, appelé covolume, ne dépend pas du choix de la base du réseau.

Voir le raisonnement

Un changement de base du réseau remplace $B$ par $BU$, où $U$ est une matrice entière inversible sur $\mathbb Z$. Son déterminant vaut $1$ ou $-1$. Par conséquent, $|\det(BU)|=|\det B|$.

Multiplier toutes les distances par $a>0$ multiplie le covolume par $a^n$. Fixer le covolume empêche donc de gagner un problème d’énergie en dilatant librement la configuration.

Le réseau dual

Le dual est formé des vecteurs ayant un produit scalaire entier avec tous les vecteurs du réseau :

$L^*=\{y:\langle y,v\rangle\in\mathbb Z\text{ pour tout }v\in L\}=B^{-T}\mathbb Z^n.$

Cette construction intervient naturellement en analyse de Fourier et dans la formule de sommation de Poisson.