Modules et idéaux de Fitting

Décrire un module par générateurs et relations

Sur un anneau commutatif $R$, un module de présentation finie possède une suite exacte

$R^m\xrightarrow{A}R^n\longrightarrow M\longrightarrow0.$

Les $n$ vecteurs de la base de $R^n$ représentent des générateurs ; les colonnes de la matrice $A$ donnent les relations que l’on impose.

L’idéal initial

L’idéal de Fitting initial $\operatorname{Fitt}_0(M)$ est engendré par les mineurs de taille $n$ de la matrice $A$. Il est indépendant de la présentation choisie. S’il n’existe aucun mineur de cette taille, cet idéal est nul.

Exemple

Pour $M=R/(a)$, la présentation est donnée par la matrice $(a)$. On obtient $\operatorname{Fitt}_0(M)=(a)$. Pour une présentation carrée, l’idéal initial est engendré par le déterminant.

Ce que l’invariant permet de voir

Pour un module de présentation finie, l’idéal de Fitting renseigne sur son support : après localisation en un idéal premier $\mathfrak p$, le module s’annule exactement lorsque l’idéal de Fitting devient l’anneau entier.

Cet invariant est transportable entre des descriptions différentes du module. Il ne faut toutefois pas lui demander plus qu’il ne dit : en général, deux modules ayant le même idéal de Fitting ne sont pas nécessairement isomorphes.

En théorie d’Iwasawa, ces idéaux permettent d’exprimer des informations arithmétiques sous une forme algébrique, puis de les comparer à des éléments construits analytiquement.