Les groupes de Selmer

Résoudre une équation dans les nombres rationnels impose de pouvoir la résoudre dans tous leurs complétés : les réels et les corps $p$-adiques. Ces informations locales sont utiles, mais leur compatibilité ne garantit pas toujours l’existence d’une solution globale.

Pour une courbe elliptique $E$ sur un corps de nombres $K$, le groupe de Selmer classique associé à la multiplication par un entier $n$ s’insère dans la suite exacte

$0\longrightarrow E(K)/nE(K)\longrightarrow \operatorname{Sel}^{(n)}(E/K)\longrightarrow \Sha(E/K)[n]\longrightarrow0.$

Le premier terme vient des points rationnels. Le dernier décrit des obstructions locales-globales. Le groupe de Selmer n’est donc pas simplement l’ensemble des solutions de l’équation.

Il existe plusieurs variantes, suivant les conditions locales imposées. Les groupes de Selmer BDP de la note sur les étages finis sont une construction spécifique : on ne peut pas remplacer leurs conditions par celles du groupe classique sans justification. Voir les définitions et les hypothèses du papier de Kim, Pal et Ray.