Les nombres p-adiques

Être proche, autrement

Fixons un nombre premier $p$. Pour un rationnel non nul $x$, on écrit $x=p^k a/b$, où $a$ et $b$ ne sont pas divisibles par $p$. On définit

$v_p(x)=k,\qquad |x|_p=p^{-k}.$

On pose aussi $|0|_p=0$. Deux nombres sont proches si leur différence est divisible par une grande puissance de $p$.

Exemple

Pour $p=5$, les nombres $1$ et $126$ sont proches : leur différence est $125=5^3$, donc leur distance $5$-adique vaut $1/125$. La taille usuelle de leur différence n’est plus le critère.

Compléter les rationnels

Comme $\mathbb R$ complète $\mathbb Q$ pour la distance usuelle, le corps $\mathbb Q_p$ le complète pour la distance $p$-adique. Les suites de Cauchy y trouvent leurs limites.

Une particularité est l’inégalité ultramétrique :

$|x+y|_p\leq\max(|x|_p,|y|_p).$

Elle impose une géométrie différente de celle de la droite réelle.

Pourquoi raisonner premier par premier

Un problème défini sur $\mathbb Q$ peut être examiné dans chaque $\mathbb Q_p$ et dans $\mathbb R$. Ces regards locaux apportent des contraintes utiles. Mais vérifier des conditions locales ne suffit pas toujours à construire une solution rationnelle globale : c’est précisément l’une des difficultés de l’arithmétique.